Stoqastikˆ montèla gia ta epitìkia. Oikonomikì Panepist mio Ajhn n

Transcript

1 Stoqastikˆ montèla gia ta epitìkia Ν. Ε. Φράγκος Α. Ν. Γιαννακόπουλος Ε. Α. Καλπινέλλη Oikonomikì Panepist mio Ajhn n 17 Ιουλίου 2010

2 To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure).

3 To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων.

4 To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α.

5 To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α. μπορεί να είναι απειροδιάστατο, ενώ δεν ικανοποιεί πάντα την ιδιότητα Markov.

6 To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton P(t, T ) = η τιμή ενός ομολόγου χωρίς τόκους (zero-coupon bond) τη χρονική στιγμή t με χρόνο λήξης T = x + t και ονομαστική τιμή 1 νομισματική μονάδα. Υποθέσεις P(T, T ) = 1 P(t, T ) διαφορίσιμη συνάρτηση στο T.

7 To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton P(t, T ) = η τιμή ενός ομολόγου χωρίς τόκους (zero-coupon bond) τη χρονική στιγμή t με χρόνο λήξης T = x + t και ονομαστική τιμή 1 νομισματική μονάδα. Υποθέσεις P(T, T ) = 1 P(t, T ) διαφορίσιμη συνάρτηση στο T. Προθεσμιακό Επιτόκιο (Forward Rate) Το προθεσμιακό επιτόκιο (forward rate) τη χρονική στιγμή t T δίνεται από τη σχέση u(t, T ) = 1 P(t, T ) log P(t, T ) =. P(t, T ) T T

8 To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton W = (Ω, F, {F t ) 0 t T }, P) : Χώρος πιθανοτήτων, εφοδιασμένος με τη διήθηση (F t ) 0 t T που παράγεται από την κίνηση Brown W = {w k = w k (t), k 1, t [0, T ]} Heath-Jarrow-Morton (1992) Για κάθε T > 0, η λύση της εξίσωσης T ( d ) u(t, T ) = u(0, T ) + dx u(s, T ) + f (s, T ) ds + 0 T όπου f ( ) είναι η ταχύτητα και σ( ) η διακύμανση, είναι μία διαδικασία Itô. 0 σ(s, T )dw (s)

9 To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton W = (Ω, F, {F t ) 0 t T }, P) : Χώρος πιθανοτήτων, εφοδιασμένος με τη διήθηση (F t ) 0 t T που παράγεται από την κίνηση Brown W = {w k = w k (t), k 1, t [0, T ]} Heath-Jarrow-Morton (1992) Για κάθε T > 0, η λύση της εξίσωσης T ( d ) u(t, T ) = u(0, T ) + dx u(s, T ) + f (s, T ) ds + 0 T όπου f ( ) είναι η ταχύτητα και σ( ) η διακύμανση, είναι μία διαδικασία Itô. Συνθήκη απουσίας arbitrage (Delbaen-Schachermayer 1994) 0 σ(s, T )dw (s) Προϋπόθεση η ύπαρξη ισοδύναμου μέτρου Martingale. T f (t, T ) = σ(t, T ) σ(t, s)ds t [0, T ]. t

10 To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton san stoqastik diaforik exðswsh Εστω S(t) η ημιομάδα τελεστών μετατόπισης προς τα δεξιά S(t)f (x) = f (t + x). Η εξίσωση των Heath-Jarrow-Morton γράφεται ισοδύναμα ως t u(t, t + x) = S(t) u(0, x) + S(t x) f (s, s + x)ds 0 t + S(t x) σ(s, s + x)dw (t) 0 Θέτοντας u(t) = u(t, ), η διαδικασία u(t) ικανοποιεί την στοχαστική εξίσωση ( du(t) ) du(t) = + f (t) dt + σ(t)dw (t) dx με αρχική συνθήκη u(0) = u 0.

11 To anˆptugma se Wiener chaos - Genikì PlaÐsio m = {m k, k 1} Ορθοκανονική βάση του L 2 ([0, T ]) ξ ik = T 0 m i(s)dw k (s) Ανεξάρτητες κανονικά κατανεμημένες τυχαίες { μεταβλητές } J = Ξ = α = (αi k, i, k 1) : αk i {0, 1, 2,... }, i,k αk i < { ξ α = 1 } α! i,k H α (ξ k i ik ) όπου H n (t) = ( 1) n e x 2 /2 d n dx e x 2 /2 n είναι το πολυώνυμο Hermite τάξης n. W (t) = k 1 w k(t)e k, όπου {e k, k 1} είναι η βάση του χώρου που παίρνουν τιμές οι παράμετροι της διαδικασίας. Λήμμα Αν ξ α (t) = E(ξ α F W t ) τότε dξ α = i,k α k i ξ α (i,k)m i (t)dw k (t) όπου { ( ) l α (i, k) = max(αi k 1) j α l j αν i = j και k = l αλλιώς

12 Je rhma Cameron - Martin Cameron - Martin (1947) Η συλλογή {ξ α, α J } είναι μία ορθοκανονική βάση του L 2 (Ω, F W T, P). Για u L 2 (Ω, F W T, P) και u α = E[uξ α ], u = α J u α ξ α και E[u] 2 = α J u 2 α. Ορισμός Ο Wiener χώρος με βάρος RL 2 (W; X ) ορίζεται ως { RL 2 (W; X ) := u : u 2 RL 2 (W;X ) = } rα 2 u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach και r α J θετικοί αριθμοί.

13 To anˆptugma se Wiener Chaos Οι Wiener Chaos λύσεις μίας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης ανήκουν στην κατηγορία των μεταβολικών (variational) λύσεων και κατασκευάζονται σαν ανάπτυγμα σε σειρά Fourier πάνω στη βάση Cameron - Martin Ξ = {ξ α, α J } του χώρου.

14 To anˆptugma se Wiener Chaos Οι Wiener Chaos λύσεις μίας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης ανήκουν στην κατηγορία των μεταβολικών (variational) λύσεων και κατασκευάζονται σαν ανάπτυγμα σε σειρά Fourier πάνω στη βάση Cameron - Martin Ξ = {ξ α, α J } του χώρου. Οι συντελεστές της σειράς Fourier υπολογίζονται λύνοντας ένα απειροδιάστατο (κάτω τριγωνικό) σύστημα ντετερμινιστικών εξισώσεων, γνωστό και ως Διαδότης (Propagator) που ορίζεται μονοσήμαντα από τη σχέση t ( ) u α (t) = u (0,α) + Au + f α (s)ds 0 t + 0 i,k για κάθε t [0, T ] και α J. α k i (M ku + g k ) α (i,k)(s)m i (s)ds,

15 To anˆptugma se Wiener Chaos - Je rhma IsodunamÐac Χώροι Hilbert (Gelfand triple): V H V Φραγμένοι τελεστές : A = A(t) : V V, M k = M k (t) : V V Θεώρημα Ισοδυναμίας Το τυχαίο πεδίο (random element) u RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )), όπου u = α J u αξ α ικανοποιεί τη στοχαστική διαφορική εξίσωση αν και μόνον αν 1. u α C([0, T ]; H) t ( ) u(t) = u(0) + A(s)u(s) + f (s, x) ds 0 t ( + Mk u(s) + g k (s) ) dw k (s) 0 k 1 2. ο διαδότης (propagator) έχει λύση στον V.

16 Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων.

17 Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών (propagators) που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

18 Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών (propagators) που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος. Εφαρμογή του Θεωρήματος Ισοδυναμίας για την κατασκευή της λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

19 Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Θεώρημα - Υπαρξη και μοναδικότητα λύσεων Εστω u 0 RL 2 (W; L 2 ((0, T ); H)) και f, g k RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )) για κατάλληλο Wiener χώρο με βάρος. Τότε υπάρχει μοναδική μεταβολική (variational) λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης u RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )). Η λύση μπορεί να γραφεί ως u = α J u αξ α, όπου η u α ικανοποιεί το ντετερμινιστικό σύστημα διαδοτών (propagator). Η επιλογή των βαρών υπαγορεύεται αποκλειστικά από τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος.

20 Wiener q roi me bˆroc L 2,Q. Q = q 1, q 2,... : ακολουθία θετικών αριθμών q α = i,k 1 qαk i k Ορισμός : συνάρτηση βαρών Ο Wiener χώρος με βάρος L 2,Q (W; X ) ορίζεται ως { L 2,Q (W; X ) := u : u 2 L (2,Q) (W;X ) = } q 2α u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach. Η επιλογή της ακολουθίας Q καθορίζει τη συμπεριφορά των στοιχείων του χώρου L 2,Q.

21 LÔseic apeðrwc diaforðsimec katˆ Malliavin Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων βαρών Q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) Q < Q L 2,Q (W; X ) L 2, Q (W; X )

22 LÔseic apeðrwc diaforðsimec katˆ Malliavin Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων βαρών Q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) Q < Q L 2,Q (W; X ) L 2, Q (W; X ) Θεώρημα - Λύσεις απείρως διαφορίσιμες κατά Malliavin Εστω u 0 L 2,Q (W; L 2 ((0, T ); H)) και f, g k L 2,Q (W; L 2 ((0, T ); V )), όπου q k q > 1. Τότε υπάρχει μοναδική λύση u L 2,Q (W; L 2 ((0, T ); V )) της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης, που είναι απείρως διαφορίσιμη κατά Malliavin.

23 LÔseic se q rouc Hida-Kondratiev Συνάρτηση βαρών qα 2 = (α!) ρ (2ik) γαk i, ρ, γ R. i,k 1 Σχέση Wiener chaos χώρων και χώρων Hida-Kondratiev L 2,Q (W; X ) S ρ,γ

24 LÔseic se q rouc Hida-Kondratiev Συνάρτηση βαρών qα 2 = (α!) ρ (2ik) γαk i, ρ, γ R. i,k 1 Σχέση Wiener chaos χώρων και χώρων Hida-Kondratiev L 2,Q (W; X ) S ρ,γ Θεώρημα Εστω u 0 S ρ,γ και f, g k S ρ,γ. Τότε υπάρχει μοναδική λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης που ανήκει στο χώρο Hida-Kondratiev S ρ,γ.

25 Efarmog sto upìdeigma twn Heath-Jarrow-Morton Στοχαστική διαφορική εξίσωση HJM ( d du(t) = dx u(t) + k Πρόταση ) t σ k (t, x) σ k (s, x)ds dt + 0 k σ k (t, x)dw k (t) (1) Εστω u 0 RL 2 (W; L 2 ((0, T ); H)) και f RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )), όπου f = α J f αξ α, όπου f α = t 0 k (σ k(s, x) t 0 σ k(y, x)dy)dt+ i,k α ( i kσ k,α (i,k)m i )(s, x)ds για κάποιο τελεστή R. Τότε, υπάρχει τελεστής R και μοναδική λύση u = α J u αξ α με u RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )) της (1), όπου η u α ικανοποιεί τον διαδότη (propagator).

26 BibliografÐa R. Carmona and M. Tehranchi, Interest Rate Models: An Infinite-dimensional Stochastic Analysis Perspective, Springer, G. Da Prato and J. Zabczyk, Stochastic Equations in Infinite Dimensions, Cambridge University Press, Cambridge, L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, D.C. Heath and R.A. Jarrow and A.J. Morton, Bond pricing and the term structure of interest rates a new methodology for contingent claims valuation, Econometrica, vol.60, num.1, p , S.V. Lototsky and B.L. Rozovskii, Stochastic Differential Equations Driven by Purely Spatial Noise, math/ , S.V. Lototsky and B.L. Rozovskii, Wiener Chaos Solutions of Linear Stochastic Evolution Equations, Annals of Probability, 34, p , D. Nualart, Malliavin calculus and related topics, Springer, New York, 2nd edition, 1997.